Zahlensysteme

Dezimalsystem

  • Ziffern:

    • 0

    • 1

    • 2

    • 3

    • 4

    • 5

    • 6

    • 7

    • 8

    • 9

  • Basis:

    • 10

  • Stellenwerte:

    • Potenzen der Basis 10

 

Beispiel:

Die Zahl 289 besteht aus 9 x 1 (Einer, 100), 8 x 10 (Zehner, 101) und 2 x 100 (Hunderter, 102).

289 = 2*102 + 8*101 + 9*100

Das Dezimalsystem beruht auf der Basis 10. Die Basis bestimmt auch die Anzahl der Ziffern im Zahlensystem (0 bis 9). 
Die Stellenwerte werden durch die Potenzen zur Basis gebildet.

 

Das ist für uns das wichtigste Zahlensystem, da die Funktionsweise jedes Computers und jeder digitalen Schaltung auf dem Dualsystem basiert. Die Basis bestimmt auch die Anzahl der Ziffern im Zahlensystem (0 und 1).

  • Ziffern:

    • 0

    • 1

  • Basis:

    • 2

  • Stellenwerte:

    • Potenzen der Basis 2

 

Beispiel:

Die Zahl 6 = 1*22 + 1*21 + 0*20 = 4+2+0 = in binärer Darstellung 110

Zur besseren Übersicht teilt man bei größeren Dualzahlen diese in Vierergruppen auf.

Beispiel: 0100 0111 0110 1101

 

Übersicht der Dezimalzahlen von 1 bis 15 und der zugehörigen Dualzahlen:

Dualzahlen

 

Dezimalzahl:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Dualzahl (mit 4 Bit):

0000

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

Hexadezimalsystem

Das Hexadezimalsystem beruht auf der Basis 16. Die Basis bestimmt die Anzahl des Zeichenvorrates.

Im Hexadezimalsystem sind es die Ziffern 0 bis 9 und die Buchstaben A bis F.

  • Ziffern und Zeichen

    • 0

    • 1

    • 2

    • 3

    • 4

    • 5

    • 6

    • 7

    • 8

    • 9

    • A

    • B

    • C

    • D

    • E

    • F

  • Basis:

    • 16

  • Stellenwerte:

    • Potenzen der Basis 16

 

Die Buchstaben haben folgende Bedeutung:

A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15

 

Das Hexadezimalsystem wird benutzt um mit möglichst wenig Ziffern und Zeichen große Zahlen darzustellen.

 

Beispiel:

Umwandeln der Dezimalzahl 512 in eine Hexadezimalzahl.

Dazu dividiert man die Zahl 512 durch die Basis 16, man erhält die Zahl 32. Der Rest ist 0.

512/16 = 32 (Rest 0)

Diese 0 stellt die erste Hexadezimalzahl links vom Komma dar. Dann wird die 32 durch 16 geteilt, man erhält die 2 und als Rest wieder 0.

32/16 = 2 (Rest 0)

Als nächstes dividiert man die 2 durch die Basis 16 und erhält als Rest 2.

2/16 = ... (Rest 2)

Der Rest 2 entsteht weil die Division von 2 durch 16 kein ganzzahliges Ergebnis ergibt. Nun fasst man die Ergebnisse zusammen und erhält die Hexadezimalzahl 200.

 

Die Hexadezimalzahl 200 hat nun folgende Stellenwerte:

beginnend von rechts nach links 0 x 160 = 0 x 1 =0 (erste Stelle links vom Komma), 0 x 161 = 0 x 16 = 0 (zweite Stelle links vom Komma), 2 x 162 = 2 x 256 = 512. 

Die hexadezimale Darstellung von Zahlen in der Steuerungstechnik ist eine weitverbreitete Kurzschreibweise für die als Grundlage dienenden Dualzahlen. Ein Byte sind 8 Bit und werden z.B. mit 1111 1111 dargestellt. 


Die gleiche Zahl hexadezimal dargestellt ist FF. Durch die hexadezimale Zahlendarstellung wird nicht der Zahlenumfang des Dualsystems verändert, man erreicht dadurch eine strukturierte Lesart da immer 4 Bit zu einer Einheit zusammengefasst werden.

Die hexadezimale Zahlendarstellung dient also auch dem Zweck größere Dualzahlen einfacher darzustellen. Die Dualzahl 1101 0110 1000 0101 0001 0111 wird in 4-Bit Einheiten zerlegt und dann als D68517 dargestellt. Aus diesem Beispiel wird die Vereinfachung ersichtlich und es ergibt sich eine weniger fehleranfällige Darstellung der Zahl als wie beim Dualsystem.

Das hexadezimale Zahlensystem wird in der Steuerungstechnik bei technischen Prozessen bei Zahleneinstellern und Ziffernanzeigern und programmintern bei Maskierungen in Verbindung mit ODER- bzw. UND-Wortbefehlen zum Ein- und Ausblenden von Binärstellen in Wort-Operanden verwendet.

 

Gegenüberstellung Dezimal-, Dual- und Hexadezimalsystem

 

Umrechnen von Dualzahlen und Hexadezimalzahlen

Eine Hexadezimalzahl wird in eine Dualzahl umgewandelt, indem man jede Hexadezimalstelle in ein Nybble umwandelt. Diese Nybbles werden als ganze Dualzahl behandelt.

Beispiel: C4 ergibt nicht Sprengstoff sondern 1100 und 0100 (Dual in Nybbles) und ist in dezimal 196. Als Nibble bezeichnet man eine Datenmenge von 4 Bits.

Die beiden Nybbles als ganze Dualzahl gesehen ergeben 1100 0100
 

Man kann also über diese Verfahrensweise recht schnell von hexadezimal nach dual umrechen.

Beispiel: A2E8FF soll nach dual umgerechnet werden.

A2E8FF = 1010 0010 1110 1000 1111 1111

 
AVR-Mikrocontroller Programmierung in C

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Heimo & Patrick Gaicher