Komplexe Zahlenrechnung

Einleitung - Aufgabe von Leibnitz:

In einem Brief an Christian Huygens schrieb Gottfried Willhelm Leibniz (1646-1716), dass es sehr merkwürdig sei,

dass

 

 

sei, denn, obwohl es

 

 

gar nicht gäbe, erhielte man bei der Rechnung doch ein "reales" Ergebnis, nämlich die

Rechnung
Was sind komplexe Zahlen?

Es gibt quadratische Gleichungen, die im Bereich der reellen Zahlen lösbar sind. Es gibt aber auch solche, die nicht lösbar sind, wie z.B. x2 = -1 , denn Quadrate reeller Zahlen sind nie negativ.

Die Gleichung 4x = 7 besitzt z.B. keine ganzzahlige Lösung. Durch die Erweiterung von ganzen Zahlen auf Bruchzahlen wird sie lösbar. (x = 7/4).

Aus diesem Grund liegt die Frage nahe, ob reelle Zahlen nicht auch so erweitert werden können, dass alle quadratischen Gleichungen lösbar werden.


Leonhard Euler (1707 - 1783) war einer der ersten Mathematiker, der versuchte dieses Problem zu lösen.
Er führte eine neue Zahl i ein. Diese sollte die Lösung der Gleichung x2 = -1 sein.  i wird als imaginäre Einheit bezeichnet.

Damit es in der Elektrotechnik nicht zu Verwechslungen kommt wurde anstatt i die Zahl j eingeführt.

 

Die komplexen Zahlen erweitern den Zahlenbereich der reellen Zahlen derart, dass auch Quadrate negativer Zahlen ( j2 =-1 )berechnet werden können.

Das Problem j2 = -1 ist zu lösen.

Wie würden wir bei j2 = 4 vorgehen?  Einfach die Wurzel ziehen und schon erhalten wir für j das Ergebnis j = 2

Versuchen Sie einmal die Wurzel aus -4 zu ziehen! Das hat Ihr Taschenrechner nicht so gerne.

Eine komplexe Zahl setzt sich aus zwei Teilen zusammen. Sie besteht aus einem Realteil und einem Imaginärteil.

Z = a + bj wobei a und b reelle Zahlen sind und j die imaginäre Einheit ist.

j = die imaginäre Einheit

Auf die so dargestellten komplexen Zahlen lassen sich die üblichen Rechenregeln für reelle Zahlen anwenden, wobei j2 stets durch -1 ersetzt werden kann und umgekehrt. 

Der so konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die sich in vielen Bereichen der Natur- und Ingenieurwissenschaften als äußerst nützlich erwiesen haben.

Darstellungsarten

1.) Komponentenform

 

Die Schreibweise z = a+bj wird als Komponentenform bezeichnet

Auf der imaginären Achse (y-Achse) wird der Imaginärteil und auf der reellen Achse (x-Achse) der Realteil einer komplexen Zahl aufgetragen.


Ähnlich einer Schatzkarte (gehe 4 Schritte nach rechts und 3 Schritte nach links) kommen Sie auf den Punkt Z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Eine komplexe Zahl z = a+bj lässt sich in der Gaußschen Zahlenebene durch einen Punkt Z darstellen. Hierzu fasst man den Real- und den Imaginärteil der komplexen Zahl als kartesische Koordinaten des Punktes Z in der x,y-Ebene auf.

 
Beispiel #1

Z = 3 + 4j

Hier tragen wir 3 auf der Realachse (x) und 4 auf der imaginären Achse (y) auf. Daraus resultierend erhalten wir den Punkt Z und durch Verbinden mit einem Pfeil (vom 0-Punkt nach Z) den Betrag von r.

Den Betrag von r können wir nun ganz einfach nach Pythagoras mit a2 = b2 + c2 , in unserem Fall also r2 = a2 + b2 berechnen.

 

 

 

und wir erhalten für r den Wert 5

Der Betrag von Z - also |Z| = r und das ist die Länge des Zeigers. (Nur die Länge, ohne Winkel)

2.) Trigonometrische Form (Polarform)

In der trigonometrischen Form stellen wir die Beziehung zwischen r und dem Winkel phi her. Somit kann man jede komplexe Zahl anhand ihres Betrages r und des Winkels phi bestimmen.

Denken wir wieder an unsere Schatzkarte (4 Schritte nach rechts und 3 nach links) so können wir auch sagen:
Gehe 5 Schritte in einem Winkel von z.B. 60° um an den Punkt Z zu gelangen.

 
Beispiel #2

r = 5,656
phi = 45°

Ges: Z

 

Z = 4 + 4j

Beispiel #3

a = 4
b = 4

Ges: phi, r, Z

3.) Eulersche Form

Die Eulersche Formel ist ein äußerst wichtiges Ergebnis der Mathematik. Sie lautet:

 

Daraus ergibt sich

 
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